Local Analytic Geometry: Basic Theory and Applications

هندسه جبری، به زبان ساده، به مطالعه مجموعه صفر از چندجمله ای ها (در یک میدان بسته جبری) مربوط می شود. همانطور که اغلب در مقدمه های کتاب های مقدماتی هندسه جبری می خوانیم، توسعه مبانی هندسه جبری بدون دانش مناسب از جبر جابجایی چندان آسان نیست. از سوی دیگر، درک جبر جابجایی مورد نیاز بدون انگیزه هندسی که اغلب از آن به وجود آمده است، بسیار دشوار است. هندسه تحلیلی محلی مربوط به میکروب های صفر مجموعه توابع تحلیلی است، یعنی مطالعه چنین مجموعه هایی در همسایگی یک نقطه. جای تعجب نیست که نظریه پایه هندسه تحلیلی محلی، از بسیاری جهات، شبیه نظریه پایه هندسه جبری است. بنابراین، به نظر می رسد ایده معقولی است که این دو نظریه را به طور همزمان توسعه دهیم. در واقع، این کاری نیست که ما در این کتاب انجام خواهیم داد، زیرا «جبر جابه‌جایی» که فرد در هندسه تحلیلی محلی به آن نیاز دارد تا حدودی دشوارتر است: باید با سؤالات همگرایی کنار آمد. بارزترین و مهم ترین مثال جایگزینی تقسیم با باقی مانده است. جایگزینی آن در هندسه تحلیلی محلی، قضیه تقسیم وایرسترافت نامیده می شود. سخنان فوق ما را برانگیخت تا چهار فصل اول این کتاب را به شرح زیر تنظیم کنیم. در فصل 1 جبر مورد نیاز خود را مورد بحث قرار می دهیم. در اینجا، فرض می‌کنیم که خواننده در دوره‌های جبر خطی و جبر انتزاعی، از جمله برخی از نظریه‌های گالوا شرکت کرده است.

Algebraic geometry is, loosely speaking, concerned with the study of zero sets of polynomials (over an algebraically closed field). As one often reads in prefaces of int- ductory books on algebraic geometry, it is not so easy to develop the basics of algebraic geometry without a proper knowledge of commutative algebra. On the other hand, the commutative algebra one needs is quite difficult to understand without the geometric motivation from which it has often developed. Local analytic geometry is concerned with germs of zero sets of analytic functions, that is, the study of such sets in the neighborhood of a point. It is not too big a surprise that the basic theory of local analytic geometry is, in many respects, similar to the basic theory of algebraic geometry. It would, therefore, appear to be a sensible idea to develop the two theories simultaneously. This, in fact, is not what we will do in this book, as the "commutative algebra" one needs in local analytic geometry is somewhat more difficult: one has to cope with convergence questions. The most prominent and important example is the substitution of division with remainder. Its substitution in local analytic geometry is called the Weierstraft Division Theorem. The above remarks motivated us to organize the first four chapters of this book as follows. In Chapter 1 we discuss the algebra we need. Here, we assume the reader attended courses on linear algebra and abstract algebra, including some Galois theory.