Disorder and Critical Phenomena Through Basic Probability Models: École d’Été de Probabilités de Saint-Flour XL – 2010

درک تأثیر بی نظمی بر پدیده های حیاتی یک موضوع اصلی در مکانیک آماری است. در شرایط احتمالی: چه اتفاقی می‌افتد اگر سیستمی را که انتقال فاز را نشان می‌دهد، با معرفی یک محیط تصادفی مختل کنیم؟ جامعه فیزیک با هدف قرار دادن معیارهای کلی که نشان می دهد آیا اضافه شدن بی نظمی ویژگی های حیاتی یک مدل را تغییر می دهد یا خیر، به این سؤال بسیار گسترده نزدیک شده است: برخی از پیش بینی ها واقعاً قابل توجه و از نظر ریاضی چالش برانگیز هستند. ما با تمرکز بر کلاس خاصی از مدل‌ها به این حوزه از ایده‌ها نزدیک می‌شویم، «مدل‌های سنجاق‌کردن»، که یک سری از کارهای ریاضی اخیر اساساً همه پیش‌بینی‌های اصلی جامعه فیزیک را روی پایه‌های محکمی قرار داده‌اند. در برخی موارد، ریاضیدانان حتی فراتر رفته و تعدادی از مسائل بحث برانگیز را حل و فصل کرده اند. اما هدف از این یادداشت‌ها، فراتر از پرداختن به مدل‌های سنجاق‌گذاری با جزئیات، همچنین انتقال ماهیت، یا حداقل طعم، «تصویر کلی» است، که از بسیاری جهات، قلمروی ناآشنا برای ریاضیدانان است.

Understanding the effect of disorder on critical phenomena is a central issue in statistical mechanics. In probabilistic terms: what happens if we perturb a system exhibiting a phase transition by introducing a random environment? The physics community has approached this very broad question by aiming at general criteria that tell whether or not the addition of disorder changes the critical properties of a model: some of the predictions are truly striking and mathematically challenging. We approach this domain of ideas by focusing on a specific class of models, the "pinning models," for which a series of recent mathematical works has essentially put all the main predictions of the physics community on firm footing; in some cases, mathematicians have even gone beyond, settling a number of controversial issues. But the purpose of these notes, beyond treating the pinning models in full detail, is also to convey the gist, or at least the flavor, of the "overall picture," which is, in many respects, unfamiliar territory for mathematicians.