Functional Fractional Calculus

هنگامی که یک نظریه جدید فوق العاده و برجسته بیان می شود، باید با انتقاد و شک مواجه شود، زیرا فراتر از مفهوم معمول است. حساب کسری اگرچه جدید نبود، اما برای مدت طولانی مورد بحث و توسعه قرار نگرفت، به ویژه به دلیل عدم کاربرد آن در مسائل زندگی واقعی. فوق العاده است زیرا با حساب دیفرانسیل «معمولی» سروکار ندارد. برجسته است زیرا اکنون می‌توان آن را در موقعیت‌هایی که نظریه‌های موجود نتایج رضایت‌بخشی ارائه نمی‌دهند به کار برد. در این کتاب نه تنها انتزاعات ریاضی به شیوه‌ای شفاف، با توضیحات فیزیکی و ریاضی و هندسی مورد بحث قرار گرفته‌اند، بلکه چندین کاربرد عملی به‌ویژه برای شناسایی سیستم، توصیف و سپس کنترل‌های کارآمد ارائه شده است.

در ویرایش دوم این کتاب موفق، مفاهیم تمایز و ادغام مرتبه کسری و مختلط به صورت ریاضی، فیزیکی و هندسی شرح داده شده است. نمونه‌های مهم جدید مختلفی ارائه شده است، مانند اثرات ناهمگونی در پس‌زمینه حمل‌ونقل، فضای دارای تله‌ها یا جزیره‌ها، توزیع نامنظم بارها، فنر غیر ایده‌آل با جرم متصل به توپی با جرم بی‌معنا، رفتار مواد با ویژگی‌های چسبناک و همچنین الاستیک. ، آرامش سیستم با و بدون حافظه یا فیزیک تاخیر تصادفی در شبکه های کامپیوتری. تأکید ویژه در این نسخه جدید بر کاربرد عملی تمایز کسری محلی برای تقویت ویژگی تکینگی در انتقال فاز یا مشخص کردن معیار بی‌نظمی تابع پاسخ است. نتایج عملی آزمایش‌های ویسکوالاستیک، آزمایش‌های کنترل مرتبه کسری، طراحی کنترل‌کننده کسری و سنتز مدار عملی برای عناصر مرتبه کسری نیز در یک رویکرد مدرن ارائه شده‌اند.

When a new extraordinary and outstanding theory is stated, it has to face criticism and skeptism, because it is beyond the usual concept. The fractional calculus though not new, was not discussed or developed for a long time, particularly for lack of its application to real life problems. It is extraordinary because it does not deal with ‘ordinary’ differential calculus. It is outstanding because it can now be applied to situations where existing theories fail to give satisfactory results. In this book not only mathematical abstractions are discussed in a lucid manner, with physical mathematical and geometrical explanations, but also several practical applications are given particularly for system identification, description and then efficient controls.

In the second edition of this successful book the concepts of fractional and complex order differentiation and integration are elaborated mathematically, physically and geometrically. Various important new examples are presented, such as heterogeneity effects in transport background, the space having traps or islands, irregular distribution of charges, non-ideal spring with mass connected to a pointless-mass ball, material behaving with viscous as well as elastic properties, system relaxation with and without memory, or physics of random delay in computer networks . Special emphasis in this new edition is placed on the practical utility of local fractional differentiation for enhancing the character of singularity at phase transition or characterizing the irregularity measure of response function. Practical results of viscoelastic experiments, fractional order control experiments, design of fractional controller and practical circuit synthesis for fractional order elements are presented in a modern approach as well.