A Theory of Branched Minimal Surfaces

یکی از ابتدایی‌ترین سؤالات در ریاضیات این است که آیا ناحیه‌ای که سطحی را به حداقل می‌رساند که یک کانتور را در سه فضا می‌پوشاند، غوطه‌ور می‌شود یا خیر؟ یعنی آیا مشتق آن در همه جا دارای رتبه حداکثری است؟

هدف از این تک نگاری ارائه یک دلیل ابتدایی از این نتیجه ریاضی بسیار اساسی و زیبا است. این نمایشگاه از خط حمله اولیه ای پیروی می کند که توسط جسی داگلاس در مدال فیلدز در سال 1931 آغاز شد، یعنی استفاده از انرژی دیریکله در مقابل مساحت. به‌طور قابل‌توجهی، نویسنده نشان می‌دهد که چگونه می‌توان مرتبه‌های بالای مشتقات انرژی دیریکله را که بر روی منیفولد ابعادی نامتناهی همه سطوحی که یک کانتور را پوشانده‌اند، محاسبه کرد، و زمینه جدیدی را در حساب تغییرات ایجاد کرد، جایی که معمولاً فقط مشتق یا تغییر دوم محاسبه می‌شود.

تک نگاری با مثال‌های آسانی شروع می‌شود که منجر به اثبات در تعداد زیادی از موارد می‌شود که می‌تواند در دوره‌های تحصیلات تکمیلی به صورت چندگانه یا تحلیل پیچیده ارائه شود. بنابراین این مونوگراف فقط به دانش اولیه در مورد تجزیه و تحلیل، تجزیه و تحلیل پیچیده و توپولوژی نیاز دارد و بنابراین تقریباً برای هر کسی که تحصیلات تکمیلی پایه دارد می تواند خوانده شود.

One of the most elementary questions in mathematics is whether an area minimizing surface spanning a contour in three space is immersed or not; i.e. does its derivative have maximal rank everywhere.

The purpose of this monograph is to present an elementary proof of this very fundamental and beautiful mathematical result. The exposition follows the original line of attack initiated by Jesse Douglas in his Fields medal work in 1931, namely use Dirichlet's energy as opposed to area. Remarkably, the author shows how to calculate arbitrarily high orders of derivatives of Dirichlet's energy defined on the infinite dimensional manifold of all surfaces spanning a contour, breaking new ground in the Calculus of Variations, where normally only the second derivative or variation is calculated.

The monograph begins with easy examples leading to a proof in a large number of cases that can be presented in a graduate course in either manifolds or complex analysis. Thus this monograph requires only the most basic knowledge of analysis, complex analysis and topology and can therefore be read by almost anyone with a basic graduate education.