Mathematical Analysis: An Introduction

Cover......Page 1
Title......Page 3
Preface......Page 7
Contents......Page 11
1.1 Sets, Relations, Functions......Page 15
1.2 Numbers......Page 18
1.3 Infinite Sets......Page 20
1.4 Incommensurability......Page 22
1.5 Ordered Fields......Page 24
1.6 Functions on R......Page 30
1.7 Intervals in R......Page 32
1.8 Algebraic and Transcendental Numbers......Page 34
1.9 Existence of R......Page 35
1.10 Exercises......Page 37
1.11 Notes......Page 39
2.1 Sequences......Page 42
2.2 Continued Fractions......Page 50
2.3 Infinite Series......Page 53
2.4 Rearrangements of Series......Page 59
2.5 Unordered Series......Page 61
2.6 Exercises . .......Page 64
2.7 Notes......Page 67
3.1 Limits and Continuity......Page 69
3.2 Two Fundamental Theorems......Page 73
3.3 Uniform Continuity......Page 75
3.4 Sequences of Functions......Page 76
3.5 The Exponential Function......Page 79
3.6 Trigonometric Functions......Page 80
3.7 Exercises......Page 83
3.8 Notes......Page 86
4.1 Derivatives......Page 88
4.2 Derivatives of Some Elementary Functions......Page 90
4.3 Convex Functions......Page 92
4.4 The Differential Calculus......Page 95
4.5 L\'Hospital\'s Rule......Page 100
4.6 Higher Order Derivatives......Page 102
4.7 Analytic Functions......Page 104
4.8 Exercises......Page 107
4.9 Notes......Page 109
5.1 Riemann Sums......Page 112
5.2 Existence Results......Page 116
5.3 Properties of the Integral......Page 121
5.4 Fundamental Theorems of Calculus......Page 124
5.5 Integrating Sequences and Series......Page 127
5.6 Improper Integrals......Page 128
5.7 Exercises......Page 132
5.8 Notes......Page 135
6.1 Topological Spaces......Page 137
6.2 Continuous Mappings......Page 140
6.3 Metric Spaces......Page 141
6.4 Constructing Topological Spaces......Page 145
6.5 Sequences......Page 149
6.6 Compactness......Page 154
6.7 Connectedness......Page 161
6.8 Exercises......Page 164
6.9 Notes......Page 167
7.1 The Weierstrass Polynomial Approximation Theorem ..........Page 169
7.2 Lengths of Paths......Page 173
7.3 Fourier Series......Page 175
7.4 Weyl\'s Theorem......Page 184
7.5 Exercises......Page 185
7.6 Notes......Page 187
8 Differentiable Maps......Page 189
8.1 Linear Algebra......Page 190
8.2 Differentials......Page 196
8.3 The Mean Value Theorem......Page 199
8.4 Partial Derivatives......Page 200
8.5 Inverse and Implicit Functions......Page 205
8.6 Exercises......Page 210
8.7 Notes......Page 213
9 Measures......Page 215
9.1 Additive Set Functions......Page 216
9.2 Countable Additivity......Page 218
9.3 Outer Measures......Page 222
9.4 Constructing Measures......Page 225
9.5 Metric Outer Measures......Page 227
9.6 Measurable Sets......Page 229
9.7 Exercises......Page 233
9.8 Notes......Page 235
10.1 Measurable Functions......Page 237
10.2 Integration......Page 240
10.3 Lebesgue and Riemann Integrals......Page 245
10.4 Inequalities for Integrals......Page 247
10.5 Uniqueness Theorems......Page 251
10.6 Linear TVansformations......Page 254
10.7 Smooth TVansformations......Page 255
10.8 Multiple and Repeated Integrals......Page 258
10.9 Exercises......Page 261
1O.1O Notes......Page 265
11.1 Definitions......Page 267
11.2 Constructing Manifolds......Page 272
11.3 Tangent Spaces......Page 274
11.4 Orientation......Page 276
11.5 Exercises......Page 279
11.6 Notes......Page 281
12.1 Vectors and Tensors......Page 283
12.2 Alternating Tensors......Page 286
12.3 The Exterior Product......Page 291
12.4 Change of Coordinates......Page 294
12.5 Exercises......Page 296
12.6 Notes......Page 297
13.1 Tensor Fields......Page 299
13.2 The Calculus of Forms......Page 300
13.3 Forms and Vector Fields......Page 302
13.4 Induced Mappings......Page 304
13.5 Closed and Exact Forms......Page 305
13.6 Tensor Fields on Manifolds......Page 307
13.7 Integration of Forms in Rn......Page 308
13.8 Exercises......Page 309
13.9 Notes......Page 310
14.1 Partitions of Unity......Page 311
14.2 Integrating fc-Forms......Page 314
14.3 The Brouwer Fixed Point Theorem......Page 319
14.4 Integrating Functions on a Manifold......Page 321
14.5 Vector Analysis......Page 326
14.6 Harmonic Functions......Page 328
14.7 Exercises......Page 332
14.8 Notes......Page 335
References......Page 337
Index......Page 339